Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade Phasenübergänge an, und zwar am Beispiel vom Easing-Modell.

Und wir hatten uns das letzte Mal überlegt, es wäre vielleicht gescheit, eine freie Energie zu definieren,

die abhängt von der mittleren räumlichen Magnetisierung.

Und wir hatten uns dann heuristisch überlegt, wie das aussehen sollte.

Das heißt, wir hatten uns überlegt, oberhalb der kritischen Temperatur sollte die freie Energie als Funktion dieser räumlich gemittelten Magnetisierung

einfach nur ein Minimum haben, entsprechend der Tatsache, dass wir wissen, oberhalb der kritischen Temperatur ist Sigma quer

die räumlich gemittelte Magnetisierung im Wesentlichen null und dann fluktuiert sie halt noch ein bisschen um null herum.

Wir hatten uns auch überlegt, dass unterhalb der kritischen Temperatur das Verhalten der freien Energie sich dann qualitativ ändern muss,

denn wir wissen schon aus den Beobachtungen, zum Beispiel in der Monte-Carlo-Simulation, dass unterhalb der kritischen Temperatur

die räumlich gemittelte Magnetisierung endlich ist im Mittelwert und entweder positiv oder negativ.

Das heißt, wir erwarten, dass es hier zwei Minima gibt.

Und der Wert, den die Magnetisierung dann für ein großes System annimmt, ergibt sich schlicht und einfach dadurch,

dass wir die freie Energie minimieren, das heißt, wir suchen die Lage dieser zwei Minima auf.

Und nun gab es da diesen sehr einfachen Ansatz, der von Landau stammt, zu sagen, an der kritischen Temperatur habe ich offenbar

dieses Umschlagen von einem Minimum in eine Situation mit zwei Minima und die Frage ist, wie kann ich das am einfachsten modellieren?

Und die Antwort ist, das kann ich am einfachsten modellieren durch eine Taylor-Entwicklung.

Zunächst mal eine Taylor-Entwicklung in Sigma quer, denn ich weiß, das ist ohnehin klein in der Nähe der kritischen Temperatur.

Und dann in einem zweiten Schritt sogar eine Taylor-Entwicklung in der Abweichung der Temperatur von der kritischen Temperatur.

Das heißt, da stand so etwas wie die freie Energie, sagen wir pro spin, ist ungefähr Sigma quer zum Quadrat plus Sigma quer hoch 4

und weitere Terme, die wir aber vernachlässigen, das sind die beiden, die wir brauchen, mit irgendwelchen Vorfaktoren,

Konstanten, die im Prinzip von der Temperatur abhängen.

Und wiederum anhand dieses Bildes hatten wir uns überlegt, wie diese Konstanten aussehen müssen.

A4 sollte immer positiv sein, damit zumindest weit außen die freie Energie nach oben geht, das heißt, große Werte von Sigma quer werden bestraft.

A2 hingegen ist zunächst mal positiv und wird dann negativ entsprechend dieser negativen Krümung dieser Parabel, sodass dann schließlich zwei Minima entstehen.

Das war die Idee. Und dann hatten wir also das ungefähr, A4 ungefähr gleich konstant gesetzt in der Nähe der kritischen Temperatur,

während A2 ist Null an der kritischen Temperatur plus die erste Ordnung in der Abweichung von der kritischen Temperatur,

also A2 Strich, die Ableitung nach der Temperatur, mal T minus Tc und weitere Terme, die wir aber auch vernachlässigen.

Und wir haben dann gefunden, wenn man den Ansatz macht und die freie Energie minimiert, dann findet man genau das selbe Verhalten,

was wir schon kennen aus der Molekularfeldnäherung. Das heißt, dann finden wir tatsächlich, wenn ich auftrage, den Wert von Sigma quer gegen die Temperatur,

oberhalb der kritischen Temperatur gibt es nur die eine Lösung, Sigma quer gleich Null, und unterhalb der kritischen Temperatur habe ich im Prinzip drei Lösungen.

Aber die Lösung Null ist instabil, denn die gehört ja zu dem Maximum, und die beiden anderen Lösungen sind die stabilen Lösungen und haben genau ein wurzelförmiges Verhalten,

so wie wir das gewohnt sind. Okay. Nun, wir wissen zwar, dass die Molekularfeldnäherung nicht exakt ist.

Das wissen wir beispielsweise, indem wir die exakte Lösung des Ising Modells in zwei Dimensionen oder einer Dimension kennen und damit vergleichen können.

Aber trotzdem, zumindest in höheren Dimensionen, gibt die Molekularfeldnäherung ja wenigstens qualitativ das richtige Ergebnis.

Und das motiviert uns jetzt auf Grundlage dieser Methode tatsächlich noch einen Schritt weiterzugehen.

Und der Schritt besteht darin, nicht nur nach der insgesamt räumlich gemittelten Magnetisierung zu fragen, sondern mit größerer Ortsauflösung das System anzuschauen,

schon eine Mittlung durchzuführen, aber auf kleinen Skalen und dann ein glattes Feld zu bekommen, das noch vom Ort abhängt.

Und das möchte ich illustrieren. Was man hier sieht, ist ein Beispiel aus so einer Monte Carlo Simulation vom Ising Modell.

In dem Beispiel ist es noch etwas oberhalb der kritischen Temperatur. Was Sie sehen, sind diese Domänen von Spins.

Weiß ist plus eins, Spin nach oben, schwarz ist minus eins. Wir sehen Domänen, wir sehen aber auch, dass tatsächlich innerhalb jeder Domäne Spins in die verkehrte Richtung gewissermaßen zeigen.

Wir sehen, dass diese Domänen eine ziemlich komplizierte Struktur haben. Und um jetzt eine vereinfachte Beschreibung zu gewinnen, wollen wir anfangen, räumlich zu mitteln.

Das heißt, ich werde jetzt einfach in jedem Punkt die paar benachbarten Spins hernehmen und darüber mitteln.

Dadurch habe ich nicht mehr nur Werte plus eins oder minus eins, sondern auch Werte dazwischen. Die werden dann durch andere Farben dargestellt.

Und wenn ich das jetzt mache mit den zweinigsten benachbarten Spins, dann sieht es halt so aus.

Dort, wo ich insgesamt eine große weiße Domäne hatte, bekomme ich immer noch die Farbe weiß, aber gerade an den Domänengrenzen werde ich jetzt die Mittlung bemerken.

Jetzt kann ich da weitergehen und tatsächlich über mehr und mehr benachbarte Spins mitteln.

Und Sie sehen, was passiert. All die kleinen Details verliere ich völlig.

Das heißt, ich sehe nicht mehr die einzelnen Spins, die in die verkehrte Richtung gezeigt haben.

Nur indirekt wird Ihre Anwesenheit dafür sorgen, dass hier sich Werte der mittleren Magnetisierung ergeben, die eben nicht genau gleich plus eins oder minus eins sind.

Und ich kann mir die Skala wählen, über die ich mitle. Ich nenne sie hier dann Lambda. Lambda ist willkürlich.